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Este mini-curso, dividido em três sessões de duas horas, tem por objetivo dar uma breve introdução aos números $p$-ádicos. A primeira sessão é dedicada à construção dos números $p$-ádicos e alguns aspetos algébricos, nomeadamente:

• A analogia de Hensel: um dicionário aritmético-geométrico. Valuação e valor absoluto $p$-ádico.
• O anel $\mathbb{Z}_p$ dos inteiros $p$-ádicos.
• O corpo $\mathbb{Q}_p$ dos números $p$-ádicos.
• Topologia $p$-ádica.
• Breve referência ao teorema de Ostrowski e classificação dos corpos locais.
• Lemma de Hensel e aplicações.
• Extensões finitas e infinitas de $\mathbb{Q}_p$. O corpo $\mathbb{C}_p$.

Na segunda sessão serão abordados os seguintes tópicos introdutórios de análise $p$-ádica:

• Funções contínuas em $\mathbb{Z}_p$.
• Séries de Mahler e teorema de Mahler.
• Funções localmente constantes.
• Derivação $p$-ádica.
• Derivação da série de Mahler.
• Teorema do valor médio.

Na terceira sessão serão abordados os seguintes tópicos de análise $p$-ádica:

• Breve sumário sobre a topologia $p$-ádica.
• Breve resumo sobre séries $p$-ádicas.
• Funções continuas e diferenciabilidade.

Destaco, entre a literatura sobre números $p$-ádicos, três referências bibliográficas, pelo seu caráter mais elementar e por abordarem também aspetos analíticos.

Os livros de Fernando Gouvêa e Svetlana Katok são mais elementares, enquanto que o livro de Alain Robert é mais avançado, contendo uma introdução à análise funcional $p$-ádica.

1. Fernando Gouvêa, p-adic Numbers: An Introduction, Springer, 2020.
2. Svetlana Katok, p-adic Analysis Compared with Real, AMS, 2007.

Alain Robert, A Course in p-adic Analysis, Springer, 2000.

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