Este mini-curso, dividido em duas sessões de duas horas, tem por objetivo dar uma breve introdução aos números $p$-ádicos. A primeira sessão é dedicada à construção dos números $p$-ádicos e alguns aspetos algébricos, nomeadamente:
A analogia de Hensel: um dicionário aritmético-geométrico. Valuação e valor absoluto $p$-ádico.
O anel $\mathbb{Z}_p$ dos inteiros $p$-ádicos.
O corpo $\mathbb{Q}_p$ dos números $p$-ádicos.
Topologia $p$-ádica.
Breve referência ao teorema de Ostrowski e classificação dos corpos locais.
Lemma de Hensel e aplicações.
Extensões finitas e infinitas de $\mathbb{Q}_p$. O corpo $\mathbb{C}_p$.
Na segunda sessão serão abordados os seguintes tópicos introdutórios de análise $p$-ádica:
Funções contínuas em $\mathbb{Z}_p$.
Séries de Mahler e teorema de Mahler.
Funções localmente constantes.
Derivação $p$-ádica.
Derivação da série de Mahler.
Teorema do valor médio.
Destaco, entre a literatura sobre números $p$-ádicos, três referências bibliográficas, pelo seu caráter mais elementar e por abordarem também aspetos analíticos.
Os livros de Fernando Gouvêa e Svetlana Katok são mais elementares, enquanto que o livro de Alain Robert é mais avançado, contendo uma introdução à análise funcional $p$-ádica.
Fernando Gouvêa, p-adic Numbers: An Introduction, Springer, 2020.
Svetlana Katok, p-adic Analysis Compared with Real, AMS, 2007.
Alain Robert, A Course in p-adic Analysis, Springer, 2000.
10:30–
Room P3.10, Mathematics Building Instituto Superior Técnico
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